在人类历史上,很早就对圆周率有所研究。我国大约成书在西汉时期的《周髀算经》,提出了「径一周三」的近似值。而在西方,早在古希腊时代的阿基米德,利用圆内接和外切正多边形的手法,得到 \mfrac{223}{71}<\pi<\mfrac{22}7 。后来中国南北朝时代的数学家祖冲之,求出了约率\mfrac{22}{7}密率\mfrac{355}{113}约率就是比较粗略的估计,而密率是精确度比较高的估计。

在往后一千多年间,数学家们又陆续提出了许多更高精确度的近似值,所涉及的手法是越来越深奥。德国数学史家莫瑞兹康托(Moritz Cantor,1829-1920)甚至说:「 历史上一个国家所算得的圆周率准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。」

事实上,等我们学习越来越多的数学以后可以发现,在许多与圆不相干的事上出现了 \pi 。比方说伟大的数学家欧拉求出正整数的平方倒数和

    \[ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\frac1{5^2}\cdots=\frac{\pi^2}6 \]

另一例,又是欧拉,他发现了这个大家公认最美丽的公式

    \[ e^{i\pi}+1=0 \]

竟然在一条短短的式子中,同时结合了圆周率 \pi 、自然指数的底 e 、虚数 i 以及乘法的单位元素 i 。彼此看似毫不相干,却这样巧妙地结合在一起。这个优美的式子,被称为欧拉公式。

今天主要是要介绍个挺有意思的事情,藉由一道看起来和圆不相干的积分不等式,计算出积分的值以后,分析出 \mfrac{22}{7} 的精确度大约是多少。虽然后来还有更精确的估计,但 \mfrac{22}{7} 胜在它十分简洁,精确度也还可以,实用上是能接受的。

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函数的连续性,在高等数学中是非常重要的。函数的连续与否,影响了许多定理的成立。

例如在《轻松学点微积分》第三版的第43页,有个性质1.5.2,在求极限是很好用的:

 

复合函数y=f\big(g(x)\big),实数bf(x) 定义域内,满足\medop\lim\limits_{x\to a}g(x)=b,
若外层函数 f(x)x=b 处连续,就可以把 \lim 移到 f 内部,即

    \begin{align*} \lim_{x\to a}f(g(x)) =f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) =f(b)\end{align*}

对于有些同学来讲,他会很自然而然地把 \lim 移到 f 内部,并没有注意到使用条件。如果学微积分只是出于兴趣想简单了解,或是为了能学其它学科如物理,或者是准备专升本高数这种难度比较低的考试,不影响考试答题,多数人都没有兴趣深入探讨理论、研究定理成立条件。因为会面对的函数大部分都是连续函数,只要简单记得\mlim{x\to a}f(g(x)) =f\big(\mlim{x\to a} g(x)\big)=f(b) 这本身真的是够用。但若是在考研高等数学这种会考到定理使用条件的,便该好好注意。

那么,关于这个性质究竟有没有反例呢?换句话说,能不能构造出不连续的f(x),使得\mlim{x\to a}f(g(x))f\big(\mlim{ x\to a} g(x)\big) 不相等呢?

其实非常简单,我们让外函数 f(x)x=b 处「跳开」即可。

(1)   \begin{align*}f(x)=\mycases{3ex}{-2mm}\begin{array}{ll}1&x=0\\[1mm] 0&x\ne0\end{array}\,,\quadg(x)=x\end{align*}



(2)   \begin{align*} \lim_{x\to0}f(g(x))=\lim_{x\to0}f(x)=0\end{align*}


\begin{align }f\big(\lim_{x\to0}g(x)\big)=f\big(\lim_{x\to0}x\big)=f(0)= 1\end{align}
两者不相等。

 

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