微积分轻松学

 

\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} 是个重要的极限，

因为考题中有许多极限题都是围绕着此极限，

需要你作些变形然后引用 \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1 。

虽然在《轻松学点微积分》一书中有尽量多点例题来让读者能慢慢跟上，

包含了此重要极限也确实放了好几道例题，

但作为一本实体书，还是没办用太大篇幅来装下非常多题目。
（就算我下决心要这样搞，出版社也很难同意。

即使真如此出版的话，也会吓走不少人）

所以，那就由本文来进行补充吧！

 

首先简单整理一下书中介绍过的极限题：

    \begin{align*} (1)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{\sin(3x)}{x}\\[2mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\sin(\colorbox{markc1}{\(3x\)})} {\colorbox{markc1}{\(3x\)}} \cdot3=1\cdot3=3\\[2mm] (2)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{2x}{\sin(5x)}\\[2mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\colorbox{markc2}{\(5x\)}} {\sin(\colorbox{markc2}{\(5x\)})} \cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}\\[2mm] (3)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}\\[2mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{2\sin^2(\mfrac{x}{2})} {(\mfrac{x}{2})^2\cdot2^2} =1^2\cdot\frac{2}{2^2} =\frac{1}{2}\\[2mm] (4)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x}\\[2mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x =\frac{1}{2}\cdot0=0\\[2mm] (5)\quad&\,\lim_{x\to\infty} x\sin\big( \mfrac{1}{x}\big)\\[2mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \frac{\sin\big( \mfrac{1}{x}\big)} {\mfrac{1}{x}} =\lim_{y\to0^+} \frac{\sin(y)}{y}=1\\[2mm] (6)\quad&\,\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2-2} {5x+4} \sin\big(\frac{2}{x} \big)\\[2mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \frac{(3x^2-2)\cdot2} {(5x+4)\cdot x} \cdot\frac{ \sin\big(\frac{2}{x}\big)} {\frac{2}{x}}\\[2mm] =&\,\frac{6}{5}\cdot1 =\frac{6}{5} \end{align*}

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在人类历史上，很早就对圆周率有所研究。我国大约成书在西汉时期的《周髀算经》，提出了「径一周三」的近似值。而在西方，早在古希腊时代的阿基米德，利用圆内接和外切正多边形的手法，得到 \mfrac{223}{71}<\pi<\mfrac{22}7 。后来中国南北朝时代的数学家祖冲之，求出了约率为 \mfrac{22}{7} 、密率为\mfrac{355}{113}。约率就是比较粗略的估计，而密率是精确度比较高的估计。

在往后一千多年间，数学家们又陆续提出了许多更高精确度的近似值，所涉及的手法是越来越深奥。德国数学史家莫瑞兹康托(Moritz Cantor,1829-1920)甚至说：「 历史上一个国家所算得的圆周率准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。」

事实上，等我们学习越来越多的数学以后可以发现，在许多与圆不相干的事上出现了 \pi 。比方说伟大的数学家欧拉求出正整数的平方倒数和

    \[ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\frac1{5^2}\cdots=\frac{\pi^2}6 \]

另一例，又是欧拉，他发现了这个大家公认最美丽的公式

    \[ e^{i\pi}+1=0 \]

竟然在一条短短的式子中，同时结合了圆周率 \pi 、自然指数的底 e 、虚数 i 以及乘法的单位元素 i 。彼此看似毫不相干，却这样巧妙地结合在一起。这个优美的式子，被称为欧拉公式。

今天主要是要介绍个挺有意思的事情，藉由一道看起来和圆不相干的积分不等式，计算出积分的值以后，分析出 \mfrac{22}{7} 的精确度大约是多少。虽然后来还有更精确的估计，但 \mfrac{22}{7} 胜在它十分简洁，精确度也还可以，实用上是能接受的。

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