重要极限
的几个延伸极限题
是个重要的极限,
因为考题中有许多极限题都是围绕着此极限,
需要你作些变形然后引用 。
虽然在《轻松学点微积分》一书中有尽量多点例题来让读者能慢慢跟上,
包含了此重要极限也确实放了好几道例题,
但作为一本实体书,还是没办用太大篇幅来装下非常多题目。
(就算我下决心要这样搞,出版社也很难同意。
即使真如此出版的话,也会吓走不少人)
所以,那就由本文来进行补充吧!
首先简单整理一下书中介绍过的极限题:
是个重要的极限,
因为考题中有许多极限题都是围绕着此极限,
需要你作些变形然后引用 。
虽然在《轻松学点微积分》一书中有尽量多点例题来让读者能慢慢跟上,
包含了此重要极限也确实放了好几道例题,
但作为一本实体书,还是没办用太大篇幅来装下非常多题目。
(就算我下决心要这样搞,出版社也很难同意。
即使真如此出版的话,也会吓走不少人)
所以,那就由本文来进行补充吧!
首先简单整理一下书中介绍过的极限题:
已知 |
首先做个化简:
在网上有位同学发问了如下问题:
若 若 |
这位同学想问,第一个是对的,但为什么第二个不对。
阅读全文在人类历史上,很早就对圆周率有所研究。我国大约成书在西汉时期的《周髀算经》,提出了「径一周三」的近似值。而在西方,早在古希腊时代的阿基米德,利用圆内接和外切正多边形的手法,得到 。后来中国南北朝时代的数学家祖冲之,求出了约率为
、密率为
。约率就是比较粗略的估计,而密率是精确度比较高的估计。
在往后一千多年间,数学家们又陆续提出了许多更高精确度的近似值,所涉及的手法是越来越深奥。德国数学史家莫瑞兹康托(Moritz Cantor,1829-1920)甚至说:「 历史上一个国家所算得的圆周率准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。」
事实上,等我们学习越来越多的数学以后可以发现,在许多与圆不相干的事上出现了 。比方说伟大的数学家欧拉求出正整数的平方倒数和
另一例,又是欧拉,他发现了这个大家公认最美丽的公式
竟然在一条短短的式子中,同时结合了圆周率 、自然指数的底
、虚数
以及乘法的单位元素
。彼此看似毫不相干,却这样巧妙地结合在一起。这个优美的式子,被称为欧拉公式。
今天主要是要介绍个挺有意思的事情,藉由一道看起来和圆不相干的积分不等式,计算出积分的值以后,分析出 的精确度大约是多少。虽然后来还有更精确的估计,但
胜在它十分简洁,精确度也还可以,实用上是能接受的。
函数的连续性,在高等数学中是非常重要的。函数的连续与否,影响了许多定理的成立。
例如在《轻松学点微积分》第三版的第43页,有个性质1.5.2,在求极限是很好用的:
复合函数
,实数
在
定义域内,满足
,
若外层函数
在
处连续,就可以把
移到
内部,即 
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