一道与绝对值有关的积分习题

首先做个化简：

$\begin{align*}&\,\int_{0}^{6}\abs{2x-2a}\dx\\[2mm]=&\,\int_{0}^{6}2\abs{x-a}\dx\\[2mm]=&\,2\int_{0}^{6}\abs{x-a}\dx=20\\[2mm]\Rightarrow \;&\,\int_{0}^{6}\abs{x-a}\dx=10\end{align*}$

解 1

因为左右两段斜率分别为 $\pm1$ ，
很容易得知两三角形的高分别也是 $a$ 与 $6-a$ 。
于是，由三角形面积：

$\begin{align*}\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}(6-a)^2=10\\[2mm]\frac{1}{2}\big(a^2+36-12a+a^2\big)=10\\[2mm]a^2-6a+18=10\\[2mm]a^2-6a+8=0\\[2mm]a=2\text{\;or\;}4\end{align*}$

解 2

我们要具备一个认知：
绝对值函数 $\abs{x}$ 其实是个分段定义函数：

$\begin{align*}\abs{x}=\mycases{2em}{-2mm}\begin{array}{ll}x&\,x\ge0\\[1mm]-x&\,x<0\end{array}\end{align*}$

以及

$\begin{align*}\abs{x-a}=\mycases{2em}{-2mm}\begin{array}{ll}x-a&\,x\ge a\\[1mm]-x+a&\,x<a\end{array}\end{align*}$

那么，这个积分的下一步就是拆解为：

$\begin{align*}\int_{0}^{a}x-a\dx+\int_{a}^{6}a-x\dx=10\end{align*}$

两个积分分别做出来

$\begin{align*}&\,\bigg[\frac{x^2}{2}-ax\bigg]_0^a+\bigg[ax-\frac{x^2}{2}\bigg]_a^6\\[2mm]=&\,\bigg[\big(\frac{a^2}{2}-a^2\big)-\big(0-0\big)\bigg]\\[1mm]&\quad+\bigg[\big(6a-18\big)-\big(a^2-\frac{a^2}{2}\big)\bigg]\\[2mm]=&\,a^2+6a-18=10\end{align*}$

后续便和解 1 的结尾相同。