在人类历史上,很早就对圆周率有所研究。我国大约成书在西汉时期的《周髀算经》,提出了「径一周三」的近似值。而在西方,早在古希腊时代的阿基米德,利用圆内接和外切正多边形的手法,得到 \mfrac{223}{71}<\pi<\mfrac{22}7 。后来中国南北朝时代的数学家祖冲之,求出了约率\mfrac{22}{7}密率\mfrac{355}{113}约率就是比较粗略的估计,而密率是精确度比较高的估计。

在往后一千多年间,数学家们又陆续提出了许多更高精确度的近似值,所涉及的手法是越来越深奥。德国数学史家莫瑞兹康托(Moritz Cantor,1829-1920)甚至说:「 历史上一个国家所算得的圆周率准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。」

事实上,等我们学习越来越多的数学以后可以发现,在许多与圆不相干的事上出现了 \pi 。比方说伟大的数学家欧拉求出正整数的平方倒数和

    \[ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\frac1{5^2}\cdots=\frac{\pi^2}6 \]

另一例,又是欧拉,他发现了这个大家公认最美丽的公式

    \[ e^{i\pi}+1=0 \]

竟然在一条短短的式子中,同时结合了圆周率 \pi 、自然指数的底 e 、虚数 i 以及乘法的单位元素 i 。彼此看似毫不相干,却这样巧妙地结合在一起。这个优美的式子,被称为欧拉公式。

今天主要是要介绍个挺有意思的事情,藉由一道看起来和圆不相干的积分不等式,计算出积分的值以后,分析出 \mfrac{22}{7} 的精确度大约是多少。虽然后来还有更精确的估计,但 \mfrac{22}{7} 胜在它十分简洁,精确度也还可以,实用上是能接受的。

以下过程中所用到的数学,不超过大一微积分程度,首先简单复习一些知识点:

 

1. 在《轻松学点微积分》4.2 积分的性质,介绍到如果函数 f(x) , g(x) 在一个区间 (a,b) 上恒成立 g(x)<f(x) 这样的大小关系,那么

    \[\int_a^bg(x)\dx<\int_a^bf(x)\dx \]

这点是显然的,一条曲线恒在另一条曲线上方,那么它的曲线下面积当然会比较大。

 

 

2. 在《轻松学点微积分》2.8 反函数的求导,介绍了三角函数的导函数 \left( \tan^{-1} x\right)'=\mfrac1{1+x^2} ,那么反过来说

    \[ \int\frac1{1+x^2}\dx=\tan^{-1} x +C\]

 

3. 在《轻松学点微积分》5.5 有理函数的积分:部分分式法,谈到对于有理函数的积分,一般是化为部分分式(partial fractions) 再积分。如果这个有理函数是个假分式(分子的次数不低于分母的次数),就要先化为带分式,也就是一个多项式加上一个真分式(分子的次数低于分母次数)的形式。多项式很容易积分,而真分式一般会进一步分解,但今天我们用不到继续分解这一步。

 

—===== 复习完毕,以下正式开始 =====—

 

在区间 (0,1) 上,

    \[ \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}<x^4(1-x)^4 \]

恒成立。这个大小关系挺显然,因为分母 1+x^2 在区间 (0,1) 上是比 1 还大的,那么整个式子 \mfrac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} 的取值当然会比分子 x^4(1-x)^4 还要小。于是

    \[ \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dx<\int_0^1x^4(1-x)^4\dx \]

接下来我们计算这两个积分,计算过程稍繁,但不算困难,都是大一微积分以下的知识结合运用。

先计算右式,它只不过是多项式的积分,肯定不难,只是需要先展开再逐个积分,可能过程稍长。首先我们可以借由 Pascal’s triangle 将 (1-x)^4 展开得到 x^4-4x^3+6x^2-4x+1 ,接着每一项中 x 的次方直接加 4 就有

    \[ x^4(1-x)^4=x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 \]

所以右式能做出

    \begin{align*} &\,\int_0^1x^4(1-x)^4\dx\\[2mm] = &\,\int_0^1 x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 \dx \\[2mm] =&\,\left[\frac{x^9}{9}-\frac{4x^8}{8} +\frac{6x^7}{7}-\frac{4x^6}{6}+\frac{x^5}{5}\right]_0^1\\[2mm] =&\,\frac19-\frac12+\frac67-\frac23+\frac15\\[2mm] =&\,\frac1{630}\end{align*}

至于左式,是有理函数的积分,一般不难,只须依循固定流程。首先注意到它是个假分式,我们要先将其化为带分式,所以先将 x^8-4x^7+6x^6-6x^5+x^4 除以 1+x^2  ,可使用长除法

    \[\polylongdiv{x^4(1-x)^4}{x^2+1}\]

便得到

    \begin{align*} &\,x^8-4x^7+6x^6-6x^5+x^4 \\[2mm] =&\,(1+x^2)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)-4 \end{align*}

将此结果代回分子

    \begin{align*} &\,\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\\[2mm] =&\,\frac{(1+x^2)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)-4}{1+x^2}\\[2mm] =&\, x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2} \end{align*}

这就是带分式的形式啦!所以左式

    \begin{align*} &\,\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dx\\[2mm] =&\,\int_0^1x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\dx\\[2mm] =&\,\int_0^1x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4 \,dx\\[2mm]&\,\hspace{4mm}-\int_0^1\frac{4}{1+x^2}\dx \end{align*}

第一个积分是多项式的积分,可简单算出 \frac17-\frac23+1-\frac43+4=\frac{22}7 ,至于第二个积分,并不需要再进一步分解,而是直接积分:

    \begin{align*} &\,4\cdot\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\dx\\[2mm] =&\,4\cdot\Big[\tan^{-1}x\Big]_0^1\\[2mm] =&\,4\cdot\big(\tan^{-1}1-\tan^{-1}0\big)\\[2mm] =&\,4\cdot\left(\frac{\pi}4-0\right)=\pi \end{align*}

这样,我们就有

    \[ \frac{22}7-\pi<\frac1{630} \]

这意思就是说, \mfrac{22}{7}\pi 大一点,具体大多少并不确定,但这个误差不会超过 \mfrac{1}{630}

以上,我们用了有理函数 \mfrac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} 小于多项式 x^4(1-x)^4 ,将两者积分后就得到了这样的误差估计,整个过程看起来和圆并无关联!


最后再补充一个小技巧,可以在计算 \displaystyle\int_0^1x^4(1-x)^4\dx 时迅速得多。

《轻松学点微积分》7.2 gamma函数,介绍了

    \[\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\dt\]

这是阶乘的推广,就是说,当 n 为正整数时,

    \[\Gamma(n+1)=n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1\]

此外又有个beta 函数(beta function) ,定义为

    \begin{align*} &\,B(a,b)\\=&\,\int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} \dx\\[2mm] =&\,\frac{\Gamma(a)\cdot\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \end{align*}

所以,现在看成 a=b=5

    \begin{align*} &\,B(5,5)\\=&\,\int_0^1x^{4}(1-x)^{4}\dx\\[2mm] =&\,\frac{\Gamma(5)\cdot\Gamma(5)}{\Gamma(5+5)}\\[2mm] =&\,\frac{4!\cdot4!}{9!}\\[2mm] =&\,\frac{2\times3\times4}{5\times6\times7\times8\times9}\\[2mm] =&\,\frac1{630} \end{align*}

在熟悉 beta  函数的前提下,这个积分的计算会比我们刚刚暴力展开来得简洁。这么方便的 beta  函数,是谁发明的呢?嘿嘿,又是欧拉!

 


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