一道夹逼原理练习题

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{n^{2n}}\end{align*}$

解

学过 Stirling 公式的同学，也许一看就知道能轻易解决此题。不过现在我们不使用 Stirling 公式，用更初等一些的解法来磨刀，训练我们不等式放缩的技能。

解1

$\begin{align*}0\le&\,\frac{(2n)!}{n^{2n}}\\=&\,\frac{1\cdot2n}{n^2}\cdot\frac{2\cdot(2n-1)}{n^2}\times\cdots\times\frac{n(n+1)}{n^2}\\\le&\,\frac{1\cdot2n}{n^2}\cdot\frac{(n+1)^2}{n^2}\times\cdots\times\frac{(n+1)^2}{n^2}\\=&\,\frac{2}{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\times\cdots\times\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\\=&\,\frac{2}{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n-2}\end{align*}$

由於

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n-2}=0\end{align*}$

故故由夹逼定理知原极限为 $0$ 。

解2

$\begin{align*}0\le&\,\frac{(2n)!}{n^{2n}}\\=&\,\frac{n\cdot(2n)}{n^2}\cdot\frac{(n+1)(n-1)}{n^2}\cdot\frac{(n+2)(n-2)}{n^2}\times\cdots\times\frac{(2n-1)\cdot1}{n^2}\\\le&\,2\cdot\frac{n^2}{n^2}\times\cdots\times\frac{n^2}{n^2}\cdot\frac{2n-1}{n^2}\end{align*}$

由于

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{2(2n-1)}{n^2}=0\end{align*}$

故由夹逼定理知原极限为 $0$ 。

解3

由算几不等式

$\begin{align*}\sqrt[2n-1]{(2n)!}\le\frac{2+3+\cdots+(2n-1)+2n}{2n-1}=n+1\end{align*}$

故有

$\begin{align*}0\le\frac{(2n)!}{n^{2n}}\le\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n-1}\cdot\frac{1}{n}\end{align*}$

由於

$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n-1}\cdot\frac{1}{n}=0\end{align*}$

故由夹逼定理知原极限为 $0$ 。

练习：试说明级数 $\medop\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mfrac{(2n)!}{n^{2n}}$ 收敛，从而其一般項趋向 $0$ 。