微积分轻松学
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\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} 是个重要的极限，

因为考题中有许多极限题都是围绕着此极限，

需要你作些变形然后引用 \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1 。

虽然在《轻松学点微积分》一书中有尽量多点例题来让读者能慢慢跟上，

包含了此重要极限也确实放了好几道例题，

但作为一本实体书，还是没办用太大篇幅来装下非常多题目。
（就算我下决心要这样搞，出版社也很难同意。

即使真如此出版的话，也会吓走不少人）

所以，那就由本文来进行补充吧！

 

首先简单整理一下书中介绍过的极限题：

    \begin{align*} (1)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{\sin(3x)}{x}\\[2mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\sin(\colorbox{markc1}{\(3x\)})} {\colorbox{markc1}{\(3x\)}} \cdot3=1\cdot3=3\\[2mm] (2)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{2x}{\sin(5x)}\\[2mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{\colorbox{markc2}{\(5x\)}} {\sin(\colorbox{markc2}{\(5x\)})} \cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}\\[2mm] (3)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}\\[2mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{2\sin^2(\mfrac{x}{2})} {(\mfrac{x}{2})^2\cdot2^2} =1^2\cdot\frac{2}{2^2} =\frac{1}{2}\\[2mm] (4)\quad&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x}\\[2mm] =&\,\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x =\frac{1}{2}\cdot0=0\\[2mm] (5)\quad&\,\lim_{x\to\infty} x\sin\big( \mfrac{1}{x}\big)\\[2mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \frac{\sin\big( \mfrac{1}{x}\big)} {\mfrac{1}{x}} =\lim_{y\to0^+} \frac{\sin(y)}{y}=1\\[2mm] (6)\quad&\,\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2-2} {5x+4} \sin\big(\frac{2}{x} \big)\\[2mm] =&\,\lim_{x\to\infty} \frac{(3x^2-2)\cdot2} {(5x+4)\cdot x} \cdot\frac{ \sin\big(\frac{2}{x}\big)} {\frac{2}{x}}\\[2mm] =&\,\frac{6}{5}\cdot1 =\frac{6}{5} \end{align*}

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