用积分验证圆周率的近似值 22/7 之精确度
在人类历史上，很早就对圆周率有所研究。我国大约成书在西汉时期的《周髀算经》，提出了「径一周三」的近似值。而在西方，早在古希腊时代的阿基米德，利用圆内接和外切正多边形的手法，得到 
。后来中国南北朝时代的数学家祖冲之，求出了约率为 
、密率为
。约率就是比较粗略的估计，而密率是精确度比较高的估计。
在往后一千多年间，数学家们又陆续提出了许多更高精确度的近似值，所涉及的手法是越来越深奥。德国数学史家莫瑞兹康托(Moritz Cantor,1829-1920)甚至说：「 历史上一个国家所算得的圆周率准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。」
事实上，等我们学习越来越多的数学以后可以发现，在许多与圆不相干的事上出现了 
。比方说伟大的数学家欧拉求出正整数的平方倒数和
![\[ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\frac1{5^2}\cdots=\frac{\pi^2}6 \]](https://easycal.top/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd3f5fba98d4e5887ea567f7eecc50e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
另一例，又是欧拉，他发现了这个大家公认最美丽的公式
![\[ e^{i\pi}+1=0 \]](https://easycal.top/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c538c3620f5da5b36a98924ded86a5a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
竟然在一条短短的式子中，同时结合了圆周率 、自然指数的底 
、虚数 
以及乘法的单位元素 。彼此看似毫不相干，却这样巧妙地结合在一起。这个优美的式子，被称为欧拉公式。
今天主要是要介绍个挺有意思的事情，藉由一道看起来和圆不相干的积分不等式，计算出积分的值以后，分析出 的精确度大约是多少。虽然后来还有更精确的估计，但 胜在它十分简洁，精确度也还可以，实用上是能接受的。