在网上有位同学发问了如下问题:

f 为周期函数,则 f' 也是周期函数

f' 为周期函数,则 f 也是周期函数

这位同学想问,第一个是对的,但为什么第二个不对。

首先,如果把这个当成单纯考题,探讨要如何确定该答这个选项错误,则可以简单举反例就好:

f(x)=\sin(x)+xf'(x)=\cos(x)+1,虽然 f' 是周期函数,但 f 并不是。

更简单的例子是:

f(x)=xf'(x)=1,虽然 f' 是周期函数,但 f 并不是。

 

再深入探讨一些,究竟为什么第一点成立而第二点不成立呢?根据导函数定义:

    \begin{align*} \text{If} \quad&\;f(x+T)=f(x)\quad\forall x \,, \\[3mm] \text{then} \quad&\;f'(x+T)\\[3mm] \eqnote{def}\quad=&\,\lim_{h\to0}\frac{f(x+T+h)-f(x+T)}{h} \\[3mm] \eqnote{period}\quad=&\,\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[3mm] =&\,f'(x) \end{align*}

可以看到,由于导函数 f'(x) 是利用 f(x) 的差商再取极限来定义的,过程中自然把周期性给传递了过来。

 

接着再由微积分基本定理:

    \begin{align*} \text{If}\quad &f'(x+T)=f'(x)\quad\forall x \,, \\[3mm] \text{then}\quad &f(x+T)\\[3mm] =&\int_a^{x+T}f'(t)\dt\\[3mm] =&\int_a^{x}f'(t)\dt +\int_x^{x+T}f'(t)\dt\\[3mm] =&f(x)+\int_x^{x+T}f'(t)\dt \end{align*}

可以看到, f(x+T)f(x) 之间其实相差了 \int_x^{x+T}f'(t)\dt,其意义为曲线 y=f'(t) 的曲线下面积,范围为 t=xt=x+T 。如果这段范围的曲线下面积没有发生正负相消消光光,那么 f(x) 就不会是周期函数。前面所举反例,就可以由这个思路想出来。

 

不过,举反例时有个更容易的切入点:如果 f'(x) 是个恒非负的周期函数,那么 f(x) 岂不是递增函数?一个递增函数是不可能为周期函数的。

 

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