在人类历史上,很早就对圆周率有所研究。我国大约成书在西汉时期的《周髀算经》,提出了「径一周三」的近似值。而在西方,早在古希腊时代的阿基米德,利用圆内接和外切正多边形的手法,得到 。后来中国南北朝时代的数学家祖冲之,求出了约率为
、密率为
。约率就是比较粗略的估计,而密率是精确度比较高的估计。
在往后一千多年间,数学家们又陆续提出了许多更高精确度的近似值,所涉及的手法是越来越深奥。德国数学史家莫瑞兹康托(Moritz Cantor,1829-1920)甚至说:「 历史上一个国家所算得的圆周率准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。」
事实上,等我们学习越来越多的数学以后可以发现,在许多与圆不相干的事上出现了 。比方说伟大的数学家欧拉求出正整数的平方倒数和
另一例,又是欧拉,他发现了这个大家公认最美丽的公式
竟然在一条短短的式子中,同时结合了圆周率 、自然指数的底
、虚数
以及乘法的单位元素
。彼此看似毫不相干,却这样巧妙地结合在一起。这个优美的式子,被称为欧拉公式。
今天主要是要介绍个挺有意思的事情,藉由一道看起来和圆不相干的积分不等式,计算出积分的值以后,分析出 的精确度大约是多少。虽然后来还有更精确的估计,但
胜在它十分简洁,精确度也还可以,实用上是能接受的。
以下过程中所用到的数学,不超过大一微积分程度,首先简单复习一些知识点:
1. 在《轻松学点微积分》4.2 积分的性质,介绍到如果函数 在一个区间
上恒成立
这样的大小关系,那么
这点是显然的,一条曲线恒在另一条曲线上方,那么它的曲线下面积当然会比较大。
2. 在《轻松学点微积分》2.8 反函数的求导,介绍了三角函数的导函数 ,那么反过来说
3. 在《轻松学点微积分》5.5 有理函数的积分:部分分式法,谈到对于有理函数的积分,一般是化为部分分式(partial fractions) 再积分。如果这个有理函数是个假分式(分子的次数不低于分母的次数),就要先化为带分式,也就是一个多项式加上一个真分式(分子的次数低于分母次数)的形式。多项式很容易积分,而真分式一般会进一步分解,但今天我们用不到继续分解这一步。
—===== 复习完毕,以下正式开始 =====—
在区间 上,
恒成立。这个大小关系挺显然,因为分母 在区间
上是比
还大的,那么整个式子
的取值当然会比分子
还要小。于是
接下来我们计算这两个积分,计算过程稍繁,但不算困难,都是大一微积分以下的知识结合运用。
先计算右式,它只不过是多项式的积分,肯定不难,只是需要先展开再逐个积分,可能过程稍长。首先我们可以借由 Pascal’s triangle 将 展开得到
,接着每一项中
的次方直接加
就有
所以右式能做出
至于左式,是有理函数的积分,一般不难,只须依循固定流程。首先注意到它是个假分式,我们要先将其化为带分式,所以先将 除以
,可使用长除法
便得到
将此结果代回分子
这就是带分式的形式啦!所以左式
第一个积分是多项式的积分,可简单算出 ,至于第二个积分,并不需要再进一步分解,而是直接积分:
这样,我们就有
这意思就是说, 比
大一点,具体大多少并不确定,但这个误差不会超过
。
以上,我们用了有理函数 小于多项式
,将两者积分后就得到了这样的误差估计,整个过程看起来和圆并无关联!
最后再补充一个小技巧,可以在计算 时迅速得多。
在《轻松学点微积分》7.2 gamma函数,介绍了
这是阶乘的推广,就是说,当 为正整数时,
此外又有个beta 函数(beta function) ,定义为
所以,现在看成 :
在熟悉 beta 函数的前提下,这个积分的计算会比我们刚刚暴力展开来得简洁。这么方便的 beta 函数,是谁发明的呢?嘿嘿,又是欧拉!