函数的连续性,在高等数学中是非常重要的。函数的连续与否,影响了许多定理的成立。
例如在《轻松学点微积分》第三版的第43页,有个性质1.5.2,在求极限是很好用的:
复合函数
,实数
在
定义域内,满足
,
若外层函数
在
处连续,就可以把
移到
内部,即 
对于有些同学来讲,他会很自然而然地把 移到
内部,并没有注意到使用条件。如果学微积分只是出于兴趣想简单了解,或是为了能学其它学科如物理,或者是准备专升本高数这种难度比较低的考试,不影响考试答题,多数人都没有兴趣深入探讨理论、研究定理成立条件。因为会面对的函数大部分都是连续函数,只要简单记得
这本身真的是够用。但若是在考研高等数学这种会考到定理使用条件的,便该好好注意。
那么,关于这个性质究竟有没有反例呢?换句话说,能不能构造出不连续的,使得
与
不相等呢?
其实非常简单,我们让外函数 在
处「跳开」即可。
设
(1)
则
(2)
但
(3)
两者不相等。