函数的连续性,在高等数学中是非常重要的。函数的连续与否,影响了许多定理的成立。

例如在《轻松学点微积分》第三版的第43页,有个性质1.5.2,在求极限是很好用的:

 

复合函数y=f\big(g(x)\big),实数bf(x) 定义域内,满足\medop\lim\limits_{x\to a}g(x)=b,
若外层函数 f(x)x=b 处连续,就可以把 \lim 移到 f 内部,即

    \begin{align*} \lim_{x\to a}f(g(x)) =f\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) =f(b)\end{align*}

对于有些同学来讲,他会很自然而然地把 \lim 移到 f 内部,并没有注意到使用条件。如果学微积分只是出于兴趣想简单了解,或是为了能学其它学科如物理,或者是准备专升本高数这种难度比较低的考试,不影响考试答题,多数人都没有兴趣深入探讨理论、研究定理成立条件。因为会面对的函数大部分都是连续函数,只要简单记得\mlim{x\to a}f(g(x)) =f\big(\mlim{x\to a} g(x)\big)=f(b) 这本身真的是够用。但若是在考研高等数学这种会考到定理使用条件的,便该好好注意。

那么,关于这个性质究竟有没有反例呢?换句话说,能不能构造出不连续的f(x),使得\mlim{x\to a}f(g(x))f\big(\mlim{ x\to a} g(x)\big) 不相等呢?

其实非常简单,我们让外函数 f(x)x=b 处「跳开」即可。

(1)   \begin{align*}f(x)=\mycases{3ex}{-2mm}\begin{array}{ll}1&x=0\\[1mm] 0&x\ne0\end{array}\,,\quad g(x)=x\end{align*}



(2)   \begin{align*} \lim_{x\to0}f(g(x))=\lim_{x\to0}f(x)=0\end{align*}


(3)   \begin{align*}f\big(\lim_{x\to0}g(x)\big)=f\big(\lim_{x\to0}x\big)=f(0)= 1\end{align*}


两者不相等。

 

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