由 Chain rule ,

(1)   \begin{align*} &\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \sin^2x\notag\\[3mm] =&\,2\sin x\cdot\cos x\notag\\[3mm] =&\,\sin2x\\[5mm] &\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \cos^2x\notag\\[3mm] =&\,2\cos x\cdot\big(-\sin x\big)\notag\\[3mm] =&\,-\sin2x \end{align*}

也可以

(2)   \begin{align*} &\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \cos^2x\notag\\[3mm] =&\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \big(1-\sin^2x\big)\notag\\[3mm] =&\,-\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \sin^2x \end{align*}

如果想追求磨炼解题技巧、快速解题,比方说有些同学准备名校转学考,可以考虑把这个结果记起来。

(3)   \begin{align*} \frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \sin^2x =&\,\sin2x\\[3mm] \frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \cos^2x =&\,-\sin2x \end{align*}

例題

(4)   \begin{align*}\int \frac{\sin2x}{\cos^2x+2} \mathop{}\mathrm{d}x \end{align*}

u=\cos^2x+2,则 \mathop{}\mathrm{d}u=-\sin2x\mathop{}\mathrm{d}x

原积分转换为

(5)   \begin{align*} &\,-\int\frac{1}{u}\mathop{}\mathrm{d}u\\[3mm] =&\,-\ln\abs{u}+C\\[3mm] =&\,-\ln\abs{\cos^2x+2}+C \end{align*}


如果事先记得 \dfrac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}\cos^2x=-\sin2x

很快就能想到 u=\cos^2x+2

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注